ИИ доказал квазигипотезу Римана: как нейросеть справилась с вековой математической задачей

Среди 377 результатов, о которых OpenAI объявила 6 октября 2026 года, один особенно выделялся. Среди множества результатов, представленных разработчиками OpenAI, особое внимание математического сообщества привлекла успешная попытка доказать так называемую квазигипотезу Римана — более слабую версию гипотезы Римана, которую можно назвать важнейшей нерешённой проблемой математики. По словам Джареда Дьюкера Лихтмана из Стэнфордского университета, это достижение стало «самым значительным на сегодняшний день достижением ИИ в математике, причём с большим отрывом». Последствия, по словам одного из специалистов, «ошеломляют». Это достижение уже называют важнейшим шагом в применении искусственного интеллекта для решения фундаментальных проблем математики.

Традиционные подходы к анализу распределения простых чисел упирались в сложности вековой давности, однако новая работа демонстрирует, как комбинация известных идей и нестандартный выбор математических семейств позволяют продвинуться в изучении объекта. Гипотеза Римана остаётся нерешённой уже более 160 лет, а её доказательство позволило бы математикам лучше понять природу простых чисел, одного из важнейших строительных блоков математики.

Суть задачи и дзета-функция Римана

Чтобы оценить масштаб события, необходимо вспомнить базовые определения. Когда на рубеже веков Математический институт Клэя сформулировал семь задач тысячелетия, гипотеза Римана выделялась даже на фоне остальных шести: она была единственной задачей, перешедшей из знаменитого списка важнейших математических проблем, который Давид Гильберт представил столетием ранее. Гипотеза Римана, сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году, описывает поведение дзета-функции комплексного переменного (ζ). Начнем с суммы 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯. Используя эту сумму вместе со специальным математическим приемом для расширения области ее определения, строят более общую дзета-функцию Римана, где аргумент s представляет собой комплексное число, состоящее из «действительной» и «мнимой» частей (последняя является множителем квадратного корня из −1, обозначаемого буквой i), а любое комплексное число можно представить в виде точки на плоскости.

Ее нетривиальные нули тесно связаны с тем, как распределены простые числа на числовой прямой — целые числа, которые делятся без остатка только на единицу и на самих себя и которые многие математики называют «атомами арифметики». Давно известно, что по мере продвижения вдоль числовой прямой простые числа встречаются все реже, и Риман показал, что характер этого разрежения в определенном смысле определяется дзета-функцией и теми значениями ее аргумента, при которых она обращается в ноль.

В то время как тривиальные нули легко определяются через отрицательные четные числа (если s представляет собой отрицательное четное число −2, −4, −6, …, то ζ(s) = 0), положение остальных нулей остается предметом дискуссий. Согласно классическому предположению, гипотеза Римана утверждает, что все остальные нули дзета-функции, называемые нетривиальными, возникают только тогда, когда действительная часть s равна 1/2, то есть все они должны располагаться на одной вертикальной прямой. Еще в 1737 году Леонард Эйлер показал эквивалентность дзета-функции другой функции, записанной исключительно через простые числа. Сам Риман доказал, что нетривиальные нули могут располагаться только внутри вертикальной полосы между нулем и единицей, а в 1896 году два математика показали, что нули не могут лежать на границах этой полосы, что привело к теореме о распределении простых чисел. Если гипотеза Римана верна, отклонения от среднего распределения всегда будут небольшими, а математики численно проверили, что первые 12 триллионов нетривиальных нулей лежат на прямой 1/2, хотя опровержение гипотезы вызвало бы хаос в распределении простых чисел, как написал Энрико Бомбьери.

От квазигипотезы к новым горизонтам

В отличие от исходной формулировки, квазигипотеза требует доказать лишь то, что нетривиальные нули заключены в определенной вертикальной полосе, более узкой, чем общая область между нулем и единицей. Чем уже эта полоса, тем больше можно сказать о распределении простых чисел, и в некотором смысле подавляющее большинство следствий гипотезы Римана уже вытекает из квазигипотезы Римана. OpenAI представила две разные версии доказательства: первая датирована 30 сентября 2026 года и претендует на то, что все нетривиальные нули должны находиться между 1/8 и 7/8 (она занимает 199 страниц и прошла формальную проверку с использованием языка программирования Lean), а вторая, завершенная почти неделю спустя и занимающая всего 49 страниц, утверждает, что действительная часть всех нулей должна находиться между 1/12 и 11/12 (она пока не прошла формальную проверку).

Модель OpenAI предложила варианты с границами, сужающими это поле поиска, что автоматически подтверждает множество связанных следствий в теории чисел и смежных дисциплинах. Специалисты-математики отмечают, что тексты статей, сгенерированных искусственным интеллектом, поначалу выглядели хаотично — они «написаны ужасно (настолько, что любой математический журнал немедленно отклонил бы их)», по словам Максима Радзивилла, и очень сильно не дотягивают до стандартов по качеству изложения и ясности. Из-за этого математики отложили 199-страничную работу и сосредоточились на результате 11/12, который короче и использует аналогичные методы. Тем не менее содержательная часть привлекла пристальное внимание ведущих экспертов из Принстона, Стэнфорда, Нью-Йоркского университета, Технологического института Джорджии и других институтов, включая Питера Сарнака из Принстона, который изменил содержание своего курса для изучения доказательства.

Неожиданные связи и реакция математиков

Вопреки давним ожиданиям математиков, для доказательства не потребовалось вводить никаких новых понятий, а удалось обнаружить скрытые связи между уже известными. Анализ предложенных доказательств показал, что модель задействовала малоизученные метаплектические формы и объединила разрозненные инструменты, созданные исследователями ранее (включая формулу, которую Александр Данн и Максим Радзивилл доказали в 2021 году, и методы Генрика Иванца из 2002 года). Подобный подход удивил авторов некоторых примененных методик, поскольку специалисты ошибочно считали имеющийся математический аппарат недостаточно мощным и были убеждены в необходимости методов из совершенно другого раздела теории чисел. Стоит отметить, что результат с границей 11/12 оказался единственной из 722 работ OpenAI, опубликованных 6 октября, которую редактировал человек, хотя компания не ответила на запросы о том, кто именно это был.

Несмотря на воодушевление и общее настроение облегчения, из-за которого десятки результатов в теории чисел, геометрии и теоретической информатике получают статус математических истин, эксперты сохраняют сдержанность. Питер Сарнак сообщил, что не будет удовлетворён признанием результата «теоремой», пока люди не проверят и не поймут все детали доказательства. Полное доказательство классической гипотезы Римана по-прежнему представляется далекой целью, хотя Уилл Савин и Томас Блум отмечают, что после столь неожиданного штурма квазигипотезы силами искусственного интеллекта их уже ничто не удивит.